题目内容
已知f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=2x-x2，
（1）证明：f（x）是R上的周期函数；
（2）求x∈[-2，0]时，f（x）的表达式．
（1）证明：f（x）是R上的周期函数；
（2）求x∈[-2，0]时，f（x）的表达式．
分析：（1）利用周期函数的定义证明f（x）是R上的周期函数；
（2）利用函数奇偶性的性质求x∈[-2，0]时，f（x）的表达式．
（2）利用函数奇偶性的性质求x∈[-2，0]时，f（x）的表达式．
解答：解：（1）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数是周期为4的周期函数．
（2）当x∈[-2，0]，x+2∈[0，2]，
∴f（x）=-f（x+2）=-（2x-x2）=x2-2x．
即x∈[-2，0]时，f（x）=x2-2x．
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数是周期为4的周期函数．
（2）当x∈[-2，0]，x+2∈[0，2]，
∴f（x）=-f（x+2）=-（2x-x2）=x2-2x．
即x∈[-2，0]时，f（x）=x2-2x．
点评：本题主要考查函数周期性的判断和证明，以及利用函数关系求函数的解析式．
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