Question

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别	PM2.5（微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	(0,15]	4	0.1
第二组	(15,30]	12	0.3
第三组	(30,45]	8	0.2
第四组	(45,60]	8	0.2
第三组	(60,75]	4	0.1
第四组	(75,90)	4	0.1

（Ⅰ）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望．

Answer 1

（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．
（2）该居民区的环境需要改进．
（3）变量的分布列为

	0	1	2

（天）,或（天）。

解析试题分析：（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．    4分
（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为（微克/立方米）．
因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进．                      8分
（3）记事件表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，
则.    随机变量的可能取值为0,1,2.且.
所以，  所以变量的分布列为

	0	1	2

（天）,或（天）   12分
考点：本题主要考查频率分布表，众数、中位数的概念及计算，随机变量的分布列与期望。
点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。题中随机变量服从，使分布列的确定思路明确。对计算能力要求较高。