Question

3．如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2$\sqrt{3}$，AC，BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．
①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

Answer 1

分析 （1）由已知得△AOB为直角三角形，由此利用勾股定理能求出AB．
（2）①由已知得△ABC与△ACD均为等边三角形，从而∠BAE=∠CAF=60°．由已知推导出△ABE≌△ACF，从而得到△AEF是等腰三角形，由∠EAF=60°，能证明△AEF是等边三角形．
②由已知推导出△ABE≌△ACF，从而CF=BE=$\frac{3}{2}$，∠EAC=∠GFC，再推导出△CAE∽△CFG，能求出CG．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOB为直角三角形，且OA=$\frac{1}{2}$AC=1，OB=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2．
（2）①△AEF是等边三角形．
理由如下：
∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE与△ACF中，
∵∠BAE=∠CAF，AB=AC=2，∠EBA=∠FCA=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形，
又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．
②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，
∴CE=$\frac{1}{2}$，BE=$\frac{3}{2}$．
由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=$\frac{3}{2}$．
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），
∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），∠EGA=∠CGF（对顶角）
∴∠EAC=∠GFC．
在△CAE与△CFG中，∵∠EAC=∠GFC，∠ACE=∠FCG=60°，
∴△CAE∽△CFG，∴$\frac{CG}{CE}=\frac{CF}{AC}$，即$\frac{CG}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{2}$，
解得：CG=$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查三角形边长的求法，考查三角形形状的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形全等、三角形相似的判定理定理和性质定理的合理运用．