Question

已知函数f(x)=

x2+ax+4

x

(x≠0)．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若f（x）在[3，+∞）上恒大于0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数对应的关系式f（-x）=-f（x），列出方程化简后求出a的值；
（2）由函数的解析式求出导数，根据导数的解析式和区间[3，+∞），判断出f′（x）＞0，进而判断出函数的单调性，求出函数的最小值，只要此最小值大于0即可．

解答：解：（1）由题意知，f（x）的定义域关于原点对称，
若f（x）为奇函数，则f(-x)=

(-x)2+a(-x)+4

-x

=-f(x)，
即

(-x)2+a(-x)+4

-x

=-

x2+ax+4

x

，解得a=0．
（2）由f（x）=

x2+ax+4

x

得，f′(x)=1-

4

x2

，
∴在[3，+∞）上f′（x）＞0，∴f（x）在[3，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[3，+∞）上恒大于0只要f（3）大于0即可，即3a+13＞0，解得a＞-

13

3

，
故a的取值范围为a＞-

13

3

．

点评：本题是有关函数的综合题，利用函数的奇偶性的关系式进行求值，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的最值，解决恒成立问题，考查了转化思想和逻辑思维能力．