Question

（2013•茂名一模）已知数列{a_n}，{b_n}中，a₁=b₁=1，且当n≥2时，a_n-na_n-1=0，bn=2bn-1-2n-1．记n的阶乘n（n-1）（n-2）…3•2•1≈n!
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{

bn

2n

}为等差数列；
（3）若cn=

an

an+2

+bn-2n，求{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）把递推式a_n-na_n-1=0变形后进行循环，可以得到a_n=n（n-1）（n-2）…3•2•1=n!，验证a₁成立，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）把给出的递推式两边同时除以2ⁿ，移向整理即可证得数列{

bn

2n

}为等差数列；
（3）把数列{a_n}的通项代入

an

an+2

，把数列{b_n}的通项代入bn-2n，利用裂项相消和错位相减法分别求出数列{

an

an+2

}和{bn-2n}的和后直接作和即可．

解答：（1）解：∵a_n-na_n-1=0（n≥2），a₁=1，
∴a_n=na_n-1=n（n-1）a_n-2=n（n-1）（n-2）a_n-3=…
=n（n-1）（n-2）…3•2•1=n!
又a₁=1=1!，∴a_n=n!
（2）证明：由bn=2bn-1-2n-1，两边同时除以2ⁿ得：

bn

2n

=

bn-1

2n-1

-

1

2

，即

bn

2n

-

bn-1

2n-1

=

1

2

．
∴数列{

bn

2n

}是以

1

2

为首项，公差为-

1

2

的等差数列，
则

bn

2n

=

1

2

+(n-1)(-

1

2

)=1-

n

2

，故bn=2n(1-

n

2

)．
（3）解：因为

an

an+2

=

n!

(n+2)!

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
bn-2n=2n(1-

n

2

)-2n=-n•2n-1．
记A_n=

a1

a3

+

a2

a4

+

a3

a5

+…+

an

an+2

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

-

1

n+2

．
记{bn-2n}的前n项和为B_n．
则Bn=-1•20-2•21-3•22-…-n•2n-1 ①
∴2Bn=-1•21-2•22-…-(n-1)•2n-1-n•2n ②
由②-①得：
Bn=20+21+22+…+2n-1-n•2n=

1-2n

1-2

-n•2n=(1-n)•2n-1．
∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=An+Bn=(1-n)•2n-

1

2

-

1

n+2

．
所以数列{c_n}的前n项和为(1-n)•2n-

1

2

-

1

n+2

．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列和等比数列通项公式的求法，考查了利用裂项相消和错位相减法求数列的前n项和，是中档题．