Question

顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点，过点作抛物线的切线交x轴于点B₁，过点B₁作x轴的垂线交抛物线于点A₁，过点A₁作抛物线的切线交x轴于点B₂，…，过点作抛物线的切线交x轴于点．

（1）求数列{ x_n }，{ y_n}的通项公式；
（2）设，数列{ a_n}的前n项和为T_n．求证：；
（3）设，若对于任意正整数n，不等式…≥成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

，．（II）见解析 （III）

本试题主要是结合函数的图像来分析数列的通项公式和数列的求和以及数列与不等式的关系的证明。
（1）顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点，过点作抛物线的切线交x轴于点B₁，过点B₁作x轴的垂线交抛物线于点A₁，过点A₁作抛物线的切线交x轴于点B₂，…，过点作抛物线的切线交x轴于点，按照此规律得到通项公式
(2) 由（1）知．所以) ．利用裂项求和得到结论。
（3）由于，故．
对任意正整数n，不等式成立，
即恒成立．
因此构造函数，判定函数单调性得到参数的范围。