Question

【题目】在直角坐标系中，已知抛物线:，抛物线的准线与交于点．

（1）过作曲线的切线，设切点为， ，证明：以为直径的圆经过点；

（2）过点作互相垂直的两条直线、， 与曲线交于、两点， 与曲线交于、两点，线段， 的中点分别为、，试讨论直线是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）过定点；坐标为．

【解析】试题分析：（1）根据题意可将切线设为，联立直线与抛物线的方程结合可得的值，根据斜率继而可得， 的倾斜角分别为和，则，从而命题得证；（2）设出直线方程，联立直线与抛物线的方程，运用韦达定理可得， 坐标分别为， ，写出直线的方程即可得到最后结果.

试题解析：（1）依题意有；由切线斜率必存在且不等于零，设切线方程为； ；

，所以切线方程为和；

所以直线， 的倾斜角分别为和，则；

所以，点在以为直径的圆上；

（2）易知直线， 的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， ， ，

则直线： ， ，

由得，

，

∴， ，∴．

同理得．

当或时，直线的方程为；

当且时，直线的斜率为，

∴直线的方程为，即，

∴直线过定点，其坐标为．