Question

已知函数f（x）=|x-a|-alnx，a∈R
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的最小值为m，且-2a≤m≤-a，求a的取值范围．

Answer 1

（1）依题意有，函数的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，f（x）=|x-a|-alnx=x-a-alnx
∵f′(x)=1-

a

x

＞0，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当a＞0时，f(x)=|x-a|-alnx=

x-a-alnx    x≥a a-x-alnx    0＜x＜a

若x≥a，f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

＞0，此时函数单调递增，
若x＜a，f′(x)=-1-

a

x

＜0，此时函数单调递减，
综上，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当a＞0时，函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞）
（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，没有最小值，不合题意；
则必有a＞0，此时函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞），
所以函数f（x）的最小值为m=f（a）=-alna
由题意，-2a≤-alna≤-a，即1≤lna≤2
解得 e≤a≤e²