Question

已知函数f（x）=alnx，g（x）=x²，记F（x）=g（x）-f（x）
（Ⅰ）求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a≥

1

2

时，若x≥1，比较：g（x-1）与f(

1

x

)的大小；
（Ⅲ）若F（x）的极值为

a

2

，问是否存在实数k，使方程

1

2

g(x)-f(1+x2)=k有四个不同实数根？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别把f（x）和g（x）的解析式代入F（x）中，求出F′（x）=0时x的值为a及函数的定义域为x大于0，令导函数大于0解出x的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出x的值即为函数的间区间；
（Ⅱ）令h(x)=g(x-1)-f(

1

x

)=(x-1)2+alnx，利用导数研究其单调性得出h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0即可证得结论；
（III）分别把

2a

x2+1

代入g（x），把1+x²代入到f（x）中，要使两个函数图象有四个不同的交点，即让y相等得到的方程m=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

有四个解，可设G（x）=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

，求出G′（x）=0时x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，利用函数的增减性求出函数的最大值G（1）和最小值G（0），然后求出G（2）和G（-2）相等且都小于G（0），所以m属于（G（0），G（1））时方程恰有四个解，求出m的范围即可．

解答：解：（Ⅰ）F（x）的定义域为（0，+∞），又F（x）=g（x）-f（x）=x²-alnx
∴F′（x）=2x-

a

x

=

2x 2-a

x

，当a≤0时，F′（x）＞0恒成立
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增；令F'（x）=0得x=

2a

2

当a＞0时，若0＜x＜

2a

2

，F'（x）＜0∴F（x）在（0，

2a

2

）上单调递减；
若x＞

2a

2

，F'（x）＞0，∴F（x）在（

2a

2

，+∞）上单调递增
故a≤0时，F（x）增区间为（0，+∞）；
a＞0时，F（x）增区间为(

2a

2

，+∞)，减区间为（0，

2a

2

）．（4分）
（Ⅱ）令h(x)=g(x-1)-f(

1

x

)=(x-1)2+alnx，
h′（x）=2（x-1）+

a

x

=

2(x- 1 2 ) 2+(a- 1 2 )

x

＞0，所以h（x）在[1，+∞）
上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0，∴g（x-1）≥f（

1

x

）　（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知F（x）仅当a＞0时，在x=

2a

2

处取得极值
由F（

2a

2

）=

a

2

可得a=2，方程

1

2

g(x)-f(1+x2)=k为
k=

x 2

2

-2ln(1+x 2)①，令t=x²，得

t

2

-k=2ln(1+t)②
由方程①有四个不同的根，得方程②有两个不同的正根，
令y1=

t

2

-k，y2=2ln（t+1）当直线y1与曲线y2相切时，

1

2

=

2

t+1

，∴t=3，
得切点坐标（3，2ln4）∴切线方程为y-2ln4=

1

2

(t-3)，其在y轴上截距为2ln4-

3

2

；
当直线y1在y轴上截距-k∈（0，2ln4-

3

2

）时，y1和y2在y轴右侧有两个不同交点，所以k的取值范围为（

3

2

-2ln4，0）（14分）

点评：本题要求学生会利用x的值讨论导函数的正负得到函数的单调区间以及会根据函数的增减性求出函数的最值，是一道中档题．（也可用导数求解）