题目内容

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且2^b＞2^a，log_sin2b＜log_sin2c，b²+c²=a²+ $数学公式$ bc，若 $数学公式$ ，则cosB+sinC的取值范围是

A.
（ $数学公式$ ， $数学公式$ ）
B.
（- $数学公式$ ， $数学公式$ ）
C.
，（ $数学公式$ ， $数学公式$ ）
D.
（- $数学公式$ ， $数学公式$ ）

A
分析：由题意可得C= $\text{[math]}$ -B，且B∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），又cosB+sinC= $\text{[math]}$ sin（B+ $\text{[math]}$ ），由B的范围逐步可得最终的范围．
解答：∵2^b＞2^a，log_sin2b＜log_sin2c，∴b＞a，b＞c，
即边b为最大边，B $\text{[math]}$ ，
又b²+c²=a²+ $\text{[math]}$ bc，所以cosA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故A= $\text{[math]}$ ，
由三角形的内角和可得B+C= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即C= $\text{[math]}$ -B，
又 $\text{[math]}$ ，可知B为锐角，故B∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
所以cosB+sinC=cosB+sin（ $\text{[math]}$ -B）=cosB+ $\text{[math]}$ cosB+ $\text{[math]}$ sinB
= $\text{[math]}$ cosB+ $\text{[math]}$ sinB= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ cosB+ $\text{[math]}$ sinB）= $\text{[math]}$ sin（B+ $\text{[math]}$ ），
∵B∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），∴B+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
故sin（B+ $\text{[math]}$ ）∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
所以 $\text{[math]}$ sin（B+ $\text{[math]}$ ）∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
故选A
点评：本题考查三角函数取值范围，涉及余弦定理和向量的数量积以及三角函数的运算，属中档题．