Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，∠A=

π

3

，b+c=

3

a，则△ABC是（　　）

A．锐角三角形

B．等边三角形

C．直角三角形

D．直角或等边三角形

Answer 1

分析：在△ABC中，∠A=

π

3

，b+c=

3

a，由正弦定理可得到sinB+sinC=

3

2

，再利用和差化积公式可求得cos

B-C

2

=

3

2

，结合B+C=

2π

3

可求得∠B为RT∠．从而可得答案．

解答：解：在△ABC中，∵∠A=

π

3

，b+c=

3

a，故∠B+∠C=

2π

3

∴由正弦定理

a

sin∠A

=

b

sin∠B

=

c

sin∠C

=2R得，sin∠B+sin∠C=

3

sin∠A=

3

2

，
∴2sin

∠B+∠C

2

•cos

∠B-∠C

2

=

3

2

，而∠B+∠C=

2π

3

，
∴cos

∠B-∠C

2

=

3

2

，又0＜∠B，∠C＜

2π

3

，
∴-

π

3

＜

∠B-∠C

2

＜

π

3

，
∴

∠B-∠C

2

=

π

6

或

∠B-∠C

2

=-

π

6

，又∠B+∠C=

2π

3

，
∴∠B=

π

2

或∠C=

π

2

．
∴△ABC为直角三角形．
故选C．

点评：本题考查三角形的形状判断，利用正弦定理得到sinB+sinC=

3

2

是关键，着重考查正弦定理及和差化积公式的应用，考查余弦函数的性质，属于中档题．