题目内容

已知函数 $数学公式$ （a，b为常数），且方程f（x）-2x-1=0有两个实数根分别为-1，-2
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当 $数学公式$ 时，不等式c²+16＜f（x）+2c恒成立，求实数c的取值范围．

解：（1）∵f（x）-2x-1=0，∴ $\text{[math]}$ ，∴（3-2a）x²-（a+2b）x-b=0．
依题可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，解之可得a=1，b=-2，故 $\text{[math]}$ ．
（2）当 $\text{[math]}$ 时，令x-2=t，则 $\text{[math]}$ ，x=t+2，则 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 即t=2时等号成立．
因此，当 $\text{[math]}$ 时，f（x）_min=24．不等式c²+16＜f（x）+2c恒成立，等价于c²-2c+16＜f（x）_min，
等价于 c²-2c+16＜24，等价于 c²-2c-8＜0，等价于-2＜c＜4．
故c的取值范围为（-2，4）．
分析：（1）由题意得（3-2a）x²-（a+2b）x-b=0，利用根与系数的关系可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，解得a和b的值，即得f（x）的解析式．
（2）当 $\text{[math]}$ 时，令x-2=t，则 $\text{[math]}$ ，x=t+2，由基本不等式求得f（x）的最小值，故c²-2c+16＜f（x）_min，解不等式求出c的取值范围．
点评：本题考查函数的恒成立问题，求函数的解析式，基本不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，求出f（x）的最小
值是解题的关键．