题目内容
设椭圆
=1(a＞b＞0)的左顶点为A,若椭圆上存在一点P,使∠OPA=
(O为原点),求椭圆离心率的取值范围.
解：如图,设P(x,y),由∠OPA=知点P在以AO为直径的圆上,
即(x+
)2+y2=
.
联立方程组
消去y,得
(a2-b2)x2+a3x+a2b2=0.
解得x=-a,或x=
.
当x=-a时,P与A重合,不满足题意,舍去.故P点的横坐标为x=
.
又∵
＞-a,
∴a2＞2b2,
即a2＞2(a2-c2),
即e2=
＞
,e＞
.
又∵0＜e＜1,∴
＜e＜1,
即椭圆离心率的范围是(
,1).
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+
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