Question

已知函数R），g（x）=lnx
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）函数的定义域为（0，+∞），=．由此能求出函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间．
（2）令，则．令h′（x）=0，得x=e．当0＜x＜e时，h′（x）＞0； 当x＞e时，h′（x）＜0．函数h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减．由此能求出满足条件的实数的值．
解答：解：函数的定义域为（0，+∞）．
∴=．
①当△=1+4a≤0，即时，得x²+x-a≥0，则F′（x）≥0．
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（2分）
②当△=1+4a＞0，即时，令F′（x）=0，得x²+x-a=0，
解得．
（ⅰ） 若，则．
∵x∈（0，+∞），
∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，则时，F′（x）＜0；
时，F′（x）＞0，
∴函数F（x）在区间上单调递减，
在区间上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数F（x）的单调递增区间为（0，+∞）；（6分）
当a＞0时，函数F（x）的单调递减区间为，
单调递增区间为．（8分）
（2）解：令，则．
令h′（x）=0，得x=e．
当0＜x＜e时，h′（x）＞0；
 当x＞e时，h′（x）＜0．
∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增，
在区间（e，+∞）上单调递减．
∴当x=e时，函数h（x）取得最大值，其值为．（10分）
而函数m（x）=x²-2ex+a=（x-e）²+a-e²，
当x=e时，函数m（x）取得最小值，其值为m（e）=a-e²．（12分）
∴当，即时，
方程只有一个根．（14分）
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．易错点是分类不清导致出错．