题目内容

设f（x）是定义在R上的函数，且 $数学公式$ $数学公式$
（1）若f（x）=1，求g（x）；
（2）若f（x）=x，求g（x）．

解：（1）f（x）=1，则g（x）=C_n⁰（1-x）ⁿ+C_n¹•x•（1-x）^n-1+…+C_nⁿ•xⁿ•（1-x）⁰=（1-x+x）ⁿ=1
∵式子有意义，则x≠0且x≠1，
∴g（x）=1（x≠0且x≠1）
（2） $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ +…+C_nⁿ•1•xⁿ•（1-x）⁰
又∵ $\text{[math]}$
g（x）=C_n-1⁰•x•（1-x）^n-1+C_n-1¹•x²•（1-x）^n-2+C_n-1²•x³•（1-x）^n-3+…+C_n-1^k-1•x^k•（1-x）^n-k+…+C_n-1^n-2•x^n-1•（1-x）+xⁿ=x•[C_n-1⁰•（1-x）^n-1+C_n-1¹•x•（1-x）^n-2+…+C_n-1^n-2•x^n-2•（1-x）+C_n-1^n-1•x^n-1]
=x（1-x+x）^n-1=x
故g（x）=x，且x≠0，x≠1
分析：（1）将f（x）=1代入g（x），然后利用二项展开式的形式逆用求出g（x）的值．
（2）将f（x）=x代入g（x），因为 $\text{[math]}$ 代入g（x）将其提出x，利用二项展开式的形式逆用求出g（x）．
点评：本题考查二项展开式及其灵活应用，本题的关键是得到 $\text{[math]}$ ，属于中档题．