Question

已知A、B、C分别为△ABC的三个内角，向量

m

=（tanA+tanB，sin2C），

n

=（1，cosAcosB），且

m

∥

n

．
（1）求角C的大小．
（2）若

AC

•(

AB

-

CB

)=25，且△ABC的面积为10

3

，求这三角形的周长．

Answer 1

分析：（1）利用向量共线定理和三角函数的基本关系式、两角和差的正弦余弦公式、三角形的内角和定理、倍角公式即可得出；
（2）利用向量的运算法则、数量积运算、三角形的面积计算公式和余弦定理即可得出．

解答：解：（1）∵

m

∥

n

，∴（tanA+tanB）cosAcosB-sin2C=0，
∴(

sinA

cosA

+

sinB

cosB

)•cosAcosB=sin2C，化为sinAcosB+cosAsinB=sin2C，∴sin（A+B）=sin2C，
∵A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC，∴sinC=2sinCcosC，
∵C∈（0，π），∴sinC≠0，∴cosC=

1

2

，可得C=

π

3

．
（2）∵

AB

-

CB

=

AC

，

AC

•(

AB

-

CB

)=25，∴

AC

2=25，即b²=25，解得b=5．
又S△ABC=

1

2

absinC=10

3

，∴

1

2

a×5×sin

π

3

=10

3

，解得a=8．
∵c²=a²+b²-2abcosC=82+52-2×8×5×cos

π

3

=49，解得c=7．
∴这三角形的周长=a+b+c=8+5+7=20．

点评：本题综合考查了向量共线定理和三角函数的基本关系式、两角和差的正弦余弦公式、三角形的内角和定理、倍角公式、向量的运算法则、数量积运算、三角形的面积计算公式和余弦定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．