题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）不等式f（x）＞0，即 $\text{[math]}$ ＞0
整理，得 $\text{[math]}$ ＞0，等价于ax（x-2a）＜0
因为a≠0，可得
①a＞0时，解之得0＜x＜2a；②a＜0时，等价于x（x-2a）＞0，解之得x＜2a或x＞0
综上所述，得：
当a＞0时，原不等式的解集为（0，2a）；a＜0时，原不等式的解集为（-∞，2a）∪（0，+∞）．
（2）f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，即
$\text{[math]}$ 在（0，+∞）上恒成立，整理得： $\text{[math]}$
根据基本不等式，得 $\text{[math]}$ =4
∴不等式 $\text{[math]}$ （0，+∞）上恒成立，即4 $\text{[math]}$ ，解之得a＜0或a $\text{[math]}$ ．
综上所述，得a的取值范围为（-∞，0）∪[ $\text{[math]}$ ，+∞）
分析：（1）由函数的表达式，根据分式不等式的解法将f（x）＞0变形整理，再分类讨论并结合一元二次不等式解集的公式，即可得到原不等式的解集．
（2）不等式f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，化简整理可得 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上恒成立，根据基本不等式求出左边的最小值为4，由此即可得到实数a的取值范围．
点评：本题给出含有参数的函数，讨论不等式恒成立并求不等式的解集，着重考查了函数恒成立的问题、基本不等式求最值和一元二次不等式的解集等知识，属于基础题．