题目内容

已知函数f(x)=
x2
1+x2

（1）求f（2）与f(
1
2
)，f（3）与f(
1
3
)的值；
（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f(
1
x
)有什么关系？证明你的发现；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f(2012)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2012
)的值．
分析：（1）直接代入计算即可；
（2）发现f（x）+f(
1
x
)=1，代入化简即可证明；
（3）利用（2）的结论即可得出．
解答：解：（1）f（2）=
22
1+22
=
4
5
，f(
1
2
)=
(
1
2
)2
1+(
1
2
)2
=
1
5
；
f(3)=
32
1+32
=
9
10
，f(
1
3
)=
(
1
3
)2
1+(
1
3
)2
=
1
10
．
（2）由（1）可得：f(x)+f(
1
x
)=1，证明如下：
f(x)+f(
1
x
)=
x2
1+x2
+
(
1
x
)2
1+(
1
x
)2
=
x2
1+x2
+
1
1+x2
=
x2+1
1+x2
=1．
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f(2012)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2012
)
=f（1）+[f(2)+f(
1
2
)]+[f(3)+f(
1
3
)]+…+[f(2012)+f(
1
2012
)]
=
1
2
+2011=
4023
2
．
点评：本题考查了分式的化简与证明、探究发现规律即证明应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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