Question

已知数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列，设b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*），数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题意知，bn+1-bn=3log

1

4

an+1-3log

1

4

an=3log

1

4

an+1

an

=3log

1

4

q=3，所以数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=3的等差数列．
（2）由题设条件知，Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3++(3n-5)×(

1

4

)n-1+(3n-2)×(

1

4

)n，运用错位相减法可求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）由题意知，an=(

1

4

)n(n∈N*)
∵bn=3log

1

4

an-2，b1=3log

1

4

a1-2=1
∴bn+1-bn=3log

1

4

an+1-3log

1

4

an=3log

1

4

an+1

an

=3log

1

4

q=3
∴数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=3的等差数列（7分）
（2）由（1）知，an=(

1

4

)n，bn=3n-2(n∈N*)
∴cn=(3n-2)×(

1

4

)n，(n∈N*)
∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3++(3n-5)×(

1

4

)n-1+(3n-2)×(

1

4

)n，
于是

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4++(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1
两式相减得

3

4

Sn=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3++(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1=

1

2

-(3n+2)×(

1

4

)n+1．
∴Sn=

2

3

-

12n+8

3

×(

1

4

)n+1(n∈N*)（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意错位相减法的应用，仔细解答．