Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长相等，E是A₁B₁的中点，F是B₁C₁的中点，则异面直线AE和BF所成角的余弦值是（　　）

• A．

  7

  10

• B．

  2

  3

• C．

  7

  50

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：取BC的中点，寻找AF的平行直线GF，将异面直线AE和BF所成的角转化为BF与GF所成的角，然后利用余弦定理求夹角即可．

解答：解：取AC的中点为G，连结BG，GF，EF，
∵E是A₁B₁的中点，F是B₁C₁的中点，
∴EF∥AG，且EF=AG，
即四边形AGFE是平行四边形，
∴AE=GF，
∴BF与GF所成的角即是异面直线AE和BF所成的角．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长相等，∴设棱长为1，
则BG=

3

2

，GF=AG=

1+( 1 2 )2

=

5 4

=

5

2

，BF=

1+( 1 2 )2

=

5 4

=

5

2

，
∴在三角形BGF中，由余弦定理得cos?∠BFG=

BF2+GF2-BG2

2?BF?GF

=

( 5 2 )2+( 5 2 )2-( 3 2 )2

2?( 5 2 )2

=

7

10

．
故异面直线AE和BF所成角的余弦值是

7

10

．
故选：A．

点评：本题主要考查空间异面直线所成角的求法，利用平移直线法是解决的基本方法，本题也可以建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角．