Question

如图，四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点。

 （1）求证：平面ABCD；    　

   （2）求二面角E―AC―D的大小；

   （3）在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解法一：

   （1）证明：∵底面ABCD为正方形，

∴BC⊥AB，又BC⊥PB，

    ∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥PA.     

同理CD⊥PA， 

∴PA⊥平面ABCD.  

   （2）解：设M为AD中点，连结EM，

又E为PD中点，

可得EM//PA，从而EM⊥底面ABCD.

过M作AC的垂线MN，垂足为N，连结EN

由三垂线定理有EN⊥AC，

∴∠ENM为二面角E―AC―D的平面角.                              

在中，可求得   

∴.                                       

∴ 二面角E―AC―D的大小为.                            

   （3）解：由E为PD中点可知,

要使得点E到平面PAF的距离为，

即要使点D到平面PAF的距离为.

过D作AF的垂线DG，垂足为G,    ∵平面ABCD，

∴平面平面，  ∴平面，

即DG为点D到平面PAF的距离.

∴，  ∴.                            

设BF=x，

由与相似可得   ，

∴，即.

∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为.

解法二：

   （1）证明：同解法一.

   （2）解：建立如图的空间直角坐标系，  

                

则.         

设为平面的一个法向量，

则m，m.

又

 

令则

得m.     

又是平面的一个法向量，

设二面角的大小为 ，

则.

∴ 二面角的大小为.     

   （3）解：设n为平面的一个法向量，

则n，n.

又，

 

      令则

得n.                                                      

又

∴点到平面的距离，

∴，

解得，即 .

∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且为中点.