Question

定义：区间[m，n]、（m，n]、[m，n）、（m，n）（n＞m）的区间长度为n-m；若某个不等式的解集由若干个无交集的区间的并表示，则各区间的长度之和称为解集的总长度．已知y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，它们的定义域均为[-3，3]，则不等式f（x）•g（x）＜0解集的总长度的取值范围是

[0，3]

．

Answer 1

分析：根据函数的奇偶性关系先判断出f（x）•g（x）＜0解集的总长度至多为3，再举出具体例子，得到f（x）•g（x）＜0解集的总长度最小是0，即得到答案．

解答：解：∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，
∴若x₀∈D，使得f（x₀）•g（x₀）＜0，
则f（-x₀）•g（-x₀）=-f（x₀）•g（x₀）＞0，
∴f（x）•g（x）＜0解集的总长度至多为

3-(-3)

2

=3，
例如f（x）=x²，g（x）=x．
如果函数f（x）•g（x）=0的解集总长度不为0，
则f（x）•g（x）＜0解集的总长度相应减少，直至为0．
∴解集的总长度的取值范围是[0，3]．
故答案为：[0，3]．

点评：本题以新定义为载体，考查了函数的奇偶性的应用，关键是充分理解新定义的本质，再结合具体的例子进行理解，属于中档题．