题目内容
【题目】如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池
的池底水平铺设污水净化管道（
， 
是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口
是
的中点， 
分别落在线段
上.已知
米， 
米，记
.
（1）试将污水净化管道的总长度
(即
的周长)表示为
的函数，并求出定义域；
（2）问
当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
（提示： 
.）
【答案】（1）
，定义域为
.（2）当
或
时所铺设的管道最短，为
米.
【解析】试题分析：（1）如图，因为
都是直角三角形，故可以得到
，也就是
，其中
.（2）
可变形为
，令
后，则有
，其中
，故
取的最大值
米.
解析：（1）
.
由于
， 
，所以
，故
.管道的总长度
，定义域为
.
(2) 
. 设
，则
，所以
. 因为
在
内单调递减，于是当
时， 
取的最大值
米. （此时
或
）.
答：当
或
时所铺设的管道最短，为
米.
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