Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的函数，且f（x）=f（-x），当a，b∈[-1，0]，且a≠b时恒有[f（a）-f（b）]（a-b）＞0，f（0）=1，f(

1

4

)=

1

2

．
（1）若f（x）＜2m+3对于x∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围；
（2）若2f(2x-

1

4

)＞1，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数单调性的定义，结合当a，b∈[-1，0]，且a≠b时恒有[f（a）-f（b）]（a-b）＞0及偶函数在对称区间上单调性相反，可分析出函数的单调性，进而求出函数的最值，得到m的取值范围；
（2）结合（1）中所得函数的定义域和单调性，将抽象不等式具体化，解得x的取值范围

解答：解：（1）由题意知：函数f（x）为偶函数，且x∈[-1，0]时，f（x）单调递增．
故x∈[0，1]时，f（x）单调递减．----------------------------------------（4分）
所以f（x）的最大值为f（0）=1，
故2m+3＞1⇒m＞-1------（7分）
（2）∵f(

1

4

)=

1

2

，∴2f(2x-

1

4

)＞1⇒f(2x-

1

4

)＞

1

2

=f(

1

4

)-----------------------（10分）
由（1）函数f（x）的单调性可知-

1

4

＜2x-

1

4

＜

1

4

⇒0＜x＜

1

4

------------------------------------（13分）

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，其中根据已知条件分析出函数的奇偶性是解答的关键．