Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P(2,)满足：F₂在线段PF₁的中垂线上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A(2,0)、M、N，且∠NF₂F₁=∠MF₂A，求k的取值范围.

Answer 1

（1）解：椭圆C的离心率e=，得=，其中c=,

椭圆C的左、右焦点分别为F₁(-c,0)、F₂(c,0),

又点F₂在线段PF₁的中垂线上，∴F₁F₂=PF₂.∴(2c)²=()²+(2-c)².

解得c=1,a²=2,b²=1，

∴椭圆C的方程为+y²=1.

（2）解:由题意，直线l的方程为y=k(x-2)，且k≠0，

联立得(1+2k²)x²-8k²x+8k²-2=0，

由Δ=8(1-2k²)＞0，得＜k＜,且k≠0.

设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)，则有x₁+x₂=，x₁x₂=.（*）

∵∠NF₂F₁=∠MF₂A，且由题意∠NF₂A≠90°，∴+=0.又F₂(1,0),

∴+=0，即+=0.

∴2-(+)=0，整理得2x₁x₂-3(x₁+x₂)+4=0.

将（*）代入,得+4=0，

知上式恒成立，故直线l的斜率k的取值范围是(,0)∪(0,).