Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．
（II）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．
解答：解析（Ⅰ）将（1，1）与（，）两点代入椭圆C的方程，
得解得．
∴椭圆PM₂的方程为．
（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时
=．
同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时
=．
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），
则直线OM的方程为，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由解得，，
∴=，同理，
所以=2×+=2，
故=2为定值．
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等