Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的单调可导函数．已知对于任意正数x，都有f[f(x)+

2

x

]=

1

f(x)

，且f（1）=a＞0．
（Ⅰ）求f（a+2），并求a的值；
（Ⅱ）令an=

1

f(n)

，n∈N*，证明：数列{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对x进行赋值，先取x=1，然后取x=a+2，建立等量关系，最后根据单调性建立关于a的方程，解之即可；
（Ⅱ）对x进行赋值，先取x=n，然后取x=x=

1

an

+

2

n

，建立等量关系，最后根据单调性建立关于a_n的方程，求出a_n，再根据等差数列的定义进行判定即可．

解答：解：（Ⅰ）取x=1，则f(a+2)=

1

a

；
再取x=a+2，则f(

1

a

+

2

a+2

)=a=f(1)
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数∴

1

a

+

2

a+2

=1，
解之得：a=2，或a=-1（舍去）．
（Ⅱ）取x=n，
则f[f(n)+

2

n

]=

1

f(n)

，f[

1

an

+

2

n

]=

1

f(n)

=an
再取x=

1

an

+

2

n

，
则f[f(

1

an

+

2

n

)+

2

1 an + 2 n

]=

1

f( 1 an + 2 n )

=f(n)
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数
∴an+

2

1 an + 2 n

=n，即2a_n²+na_n-n²=0
解之得：an=

n

2

，或a_n=-n（舍去）
又an+1-an=

1

2

（常数）n∈N^*
所以，数列{a_n}是等差数列．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及等差数列的求和等有关知识，属于中档题之列．