Question

已知函数f（x）=2sin²（），x∈R。
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围。

Answer 1

解：f（x）=2sin²（）
=1-cos（+2x）-cos2x-1
=-sin2x-cos2x
=-2sin（2x+）。
（1）∴正弦函数的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z），
∴2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z），
解得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），
则函数f（x）的递增区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
（2）f（A）=-2sin（2A+），
将（2a-c）cosB=bcosC利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=，
又B为三角形的内角，
∴B=，
∴A+C=，
即0＜A＜，
∴＜2A+＜，
∴-1＜sin（2A+）＜1，
则f（A）的取值范围是（-2，2）。