Question

已知函数f(x)＝．设a，b∈R，且a≠b．求证：|f(a)－f(b)|＜|a－b|．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明． 　　解答　　证法一　　|f(a)－f(b)|＜|a－b| 　　|－|＜|a－b| 　　(－)2＜(a－b)2 　　2＋a2＋b2－2＜a2＋b2－2ab 　　1＋ab＜① 　　当ab≤－1时，①式显然成立； 　　当ab＞－1时， 　　①式(1＋ab)2＜(1＋a2)(1＋b2)2ab＜a2＋b2．② 　　因为a≠b，所以②式成立． 　　故原不等式成立． 　　证法二　　因为|－| 　　＝ 　　＜ 　　≤＝|a－b|， 　　所以原不等式成立． 　　评析　　此题可以用三角代换法、数形结合法等证明，留给读者去思考．