Question

已知函数f(x)=lg

1+x

1-x

．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）已知a，b∈（-1，1），且满足f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)，若f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，求f（a），f（b）的值．

Answer 1

分析：（1）先分析函数的定义域是否关于原点对称，再分析f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义，可得答案．
（2）任取x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1，进而判断f（x₁）与f（x₂）的大小关系，进而根据函数单调性的定义，可得答案．
（3）由（1）中函数的奇偶性，结合f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)，若f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，可构造关于f（a），f（b）的方程组，解方程组可得答案．

解答：解：（1）若使函数f(x)=lg

1+x

1-x

的解析式有意义，
自变量x须满足

1+x

1-x

＞0
∴-1＜x＜1，函数定义域（-1，1）…（2分）
∵定义域关于原点对称
f（-x）=lg

1-x

1+x

=-lg

1+x

1-x

=-f（x）
故f（x）为奇函数…（5分）
（2）函数在定义域上单调递增                                 …（7分）
证明：任取x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1
∵f（x₁）-f（x₂）=lg

1+x1

1-x1

-lg

1+x2

1-x2

=lg

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

而 

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

-1=

2(x1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜lg1=0
即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）单调递增                                    …（11分）
（3）∵f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)，f(

a+b

1+ab

)=1，
∴f（a）+f（b）=1…①
∴f(a)+f(-b)=f(

a-b

1-ab

)=f（a）-f（b）
又∵f(

a-b

1-ab

)=2，
f（a）-f（b）=2…②
解得f（a）=

3

2

，f（b）=-

1

2

点评：本题考查的知识点是函数单调性的定义及证明，函数奇偶性的定义及证明，函数的定义域，函数的值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．