Question

【题目】已知函数
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（3）求证：对任意的正数a与b，恒有 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数

∴ ，

由f′（x）＞0x＞0；由f′（x）＜0﹣1＜x＜0；

∴f（x）的单调增区间（0，+∞），单调减区间（﹣1，0）

（2）解： ，

当x=1时，y'= 得切线的斜率为 ，所以k= ；

所以曲线在点（1，f（1））处的切线方程为：

y﹣ln2+ = ×（x﹣1），即x﹣4y+4ln2﹣3=0．

故切线方程为 x﹣4y+4ln2﹣3=0

（3）解：所证不等式等价为

而 ，设t=x+1，则 ，

由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，

由此F（t）min=F（1）=0，

所以F（t）≥F（1）=0即 ，

记 代入得：

得证

【解析】（1）先求出函数f（x）的定义域，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值．（2）欲求在点（1，f
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．