Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为实数，且a≠0），F(x)=

f(x) ，&x＞0 -f(x)，?x＜0.

（1）若f（-1）=0，曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，求F（x）的表达式；
（2）在（Ⅰ）在条件下，当时，，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）为偶函数，证明F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

分析：（1）利用f（-1）=0，f'（-1）=0的性质代入函数解析式，再根据函数y=f（x）通过点（0，2a+3），代入函数解析式，解方程组，求出系数a，b，c
（2）由第（1）问得出f（x）=-3x²-6x-3，代入g（x）=kx-f（x），在x∈[-1，1]是单调函数，根据二次函数的单调性-

b

2a

≤-1或-

b

2a

≥1，得出k的取值范围！
（3）运用偶函数f（x）=f（-x）的定义，求出f（x）=ax²+c，代入F（m）+F（n）整理，分情况讨论可得F（m）+F（n）＞0

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=ax²+bx+c，所以f'（x）=2ax+b．
又曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．①
因为f（-1）=0，所以b=a+c．②
又因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），
所以c=2a+3．③
解由①，②，③组成的方程组，得a=-3，b=-6，c=-3．
从而f（x）=-3x²-6x-3．
所以F(x)=

-3(x+1)2 x＞0 3(x+1)2 x＜0.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-3x²-6x-3，
所以g（x）=kx-f（x）=3x²+（k+6）x+3．
由g（x）在[-1，1]上是单调函数知：-

k+6

6

≤-1或-

k+6

6

≥1，
得k≤-12或k≥0
（Ⅲ）因为f（x）是偶函数，可知b=0．
因此．
又因为mn＜0，m+n＞0，
可知m，n异号．
若m＞0，则n＜0．
则F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+c-an²-c=a（m+n）（m-n）＞0．
若m＜0，则n＞0．
同理可得F（m）+F（n）＞0．
综上可知F（m）+F（n）＞0．

点评：此题第一问需要导数知识，第二问是二次函数问题，第三问考查学生函数的奇偶性和不等式的证明，是一道较好的综合类题目