Question

在平面直角坐标系xOy中，以C（1，-2）为圆心的圆与直线x+y+3

2

+1=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点（3，4）且截圆C所得的弦长为2

5

的直线方程．

Answer 1

分析：（1）假设圆的方程，利用以C（1，-2）为圆心的圆与直线x+y+3

2

+1=0相切，即可求得圆C的方程；
（2）分类讨论，利用圆心C（1，-2）到直线的距离，过点（3，4）且截圆C所得的弦长为2

5

，即可求得直线方程．

解答：解：（1）设圆的方程是（x-1）²+（y+2）²=r²，------（1分）
依题意，∵C（1，-2）为圆心的圆与直线x+y+3

2

+1=0相切．
∴所求圆的半径，r=

|1-2+3 2 +1|

2

=3，-----（3分）
∴所求的圆方程是（x-1）²+（y+2）²=9．----------------（4分）
（2）∵圆方程是（x-1）²+（y+2）²=9，
当斜率存在时，设直线的斜率为k，则直线方程为y-4=k（x-3），------（5分）
即kx-y+4-3k=0，
由圆心C（1，-2）到直线的距离d=

|k+2+4-3k|

k2+1

=2，----（6分）
即

|k-3|

k2+1

=1，解得k=

4

3

，-----（8分）
∴直线方程为y-4=

4

3

(x-3)，即4x-3y=0，----（9分）
∴当斜率不存在时，也符合题意，即所求的直线方程是x=3．--------（11分）
∴所求的直线方程为x=3和4x-3y=0．------------（12分）

点评：本题重点考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，合理运用圆的性质是关键．