Question

设D是棱长为4的正四面体P₁P₂P₃P₄及其内部的点构成的集合，点P₀是正四面体P₁P₂P₃P₄的中心，若集合S={P∈D||PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3，4}，则集合S表示的区域的体积是

101 2

24

．

Answer 1

分析：由集合S={P|P∈D，|PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3，4}，则P点应位于过P₀P_i的中点的四个垂面及正四面体的四个侧面之内，又由D是正四面体及其内部的点构成的集合，我们易画出满足条件的图象，并判断其形状，最后由正四面体的体积减去四个小正四面体的体积即可．

解答：解：如图所示，

分别作出过P₀P₁、P₀P₂、P₀P₃、P₀P₄的中点的且与各线段垂直的面，
不妨设P₀P₁的垂面为ABC，垂足为H，若|PP₀|=|PP₁|，则点P在面ABC上，若|PP₀|≤|PP₁|，则点P在面ABC的与P₀位置相同的一侧．同理其它四个面也是，
则P点应位于四个垂面及正四面体所围成的区域内，
集合S表示的区域的体积是正四面体的体积减去四个相等的小正四面体的体积．
因为正四棱锥的棱长等于4，所以高为

4 6

3

，
所以P₀P₁=

3

4

×

4

3

6

=

6

，所以四面体P₁-ABC的地面ABC上的高P1H=

6

2

，
设四面体P₁-ABC的棱长为a，则a=

3

2

，
所以VP1-ABC=

1

3

×

1

2

×

3

2

×

3 3

4

×

6

2

=

9 2

32

，
则集合S表示的区域的体积V=

1

3

×

1

2

×4×2

3

×

4 6

3

-4×

9 2

32

=

101 2

24

．
故答案为

101 2

24

．

点评：本题考查的知识点是不等式表示的平面区域，根据|PP₀|≤|PP_i|，画出满足条件的图形是解答本题的关键，此题是中档题．