Question

已知数列{a_n}满足a1=3，an+an-1=4n (n≥2)
（1）求证：数列{a_n}的奇数项，偶数项均构成等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

an

2n

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an+an-1=4n (n≥2)①，得an+1+an=4(n+1) (n≥2)②，两式相减得一递推式，根据等差数列的定义可得结论；
（2）由a₁=3，易求a₂=5，根据等差数列可得a_2n-1，a_2n，通过变形整理可得a_n；
（3）利用错位相减法即可求得S_n．

解答：（1）由an+an-1=4n (n≥2)①，
得an+1+an=4(n+1) (n≥2)②，
②-①得an+1-an-1=4 (n≥2)，
所以数列{a_n}的奇数项，偶数项均构成等差数列，且公差都为4．
（2）由a₁=3，a₂+a₁=8得a₂=5，
故a_2n-1=3+4（n-1）=4n-1，a_2n=5+4（n-1）=4n+1，
由于a_2n-1=4n-1=2（2n-1）+1，a_2n=4n+1=2（2n）+1，所以a_n=2n+1；
（3）bn=

an

2n

=

2n+1

2n

，
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

①，

1

2

Sn=

3

22

+

5

23

+…+

2n+1

2n+1

②，
①-②得，

1

2

Sn=

3

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n+1

2n+1

=

3

2

+

2 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n+1

2n+1

=

5

2

-

2n+5

2n+1

，
所以Sn=5-

2n+5

2n

；

点评：本题考查由数列递推式求数列通项公式、利用错位相减法对数列求和，考查学生解决问题的能力．