题目内容

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD= $数学公式$ ，CD=4，AD= $数学公式$ ．
（Ⅰ）若∠ADE= $数学公式$ ，求证：CE⊥平面PDE；
（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为 $数学公式$ 时，求三棱锥A-PDE的侧面积．

（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在Rt△DAE中，AD= $\text{[math]}$ ，∠ADE= $\text{[math]}$ ，
∴AE=AD•tan∠ADE= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =1．
又AB=CD=4，∴BE=3．
在Rt△EBC中，BC=AD= $\text{[math]}$ ，∴tan∠CEB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴∠CEB= $\text{[math]}$ ．
又∠AED= $\text{[math]}$ ，∴∠DEC= $\text{[math]}$ ，即CE⊥DE．
∵PD⊥底面ABCD，CE?底面ABCD，
∴PD⊥CE．
∴CE⊥平面PDE．…（6分）
（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面ABCD．
如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，
∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF= $\text{[math]}$ ．
在Rt△DAE中，由AD•AE=AF•DE，得
$\text{[math]}$ AE= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，解得AE=2．
∴S_△APD= $\text{[math]}$ PD•AD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
S_△ADE= $\text{[math]}$ AD•AE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×2= $\text{[math]}$ ，
∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴BA⊥PA．
在Rt△PAE中，AE=2，PA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S_△APE= $\text{[math]}$ PA•AE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×2= $\text{[math]}$ ．
∴三棱锥A-PDE的侧面积S_侧= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（Ⅰ）在Rt△DAE中，求出BE=3．在Rt△EBC中，求出∠CEB= $\text{[math]}$ ．证明CE⊥DE．PD⊥CE．即可证明CE⊥平面PDE．
（Ⅱ）证明平面PDE⊥平面ABCD．过A作AF⊥DE于F，求出AF．证明BA⊥平面PAD，BA⊥PA．然后求出三棱锥A-PDE的侧面积S_侧= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．