Question

设、∈R且，求的范围.

Answer 1

0≤≤4.

解：方法一：等价转化法(转化为函数问题)
由≥0得0≤≤2.
设，则，代入已知等式得：，
即，其对称轴为=3.
由0≤≤2得∈[0,4].
所以的范围是：0≤≤4.
方法二：数形结合法（转化为解几何问题）：
由得，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点.的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.设圆方程为，代入椭圆中消得.由判别式得,所以的范围是：.
方法三： 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
由得，设，则


所以的范围是：.