Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝DE＝2AB＝4，F为CD的中点．

(1)求证：AF∥平面BCE；

(2)若∠CAD＝90°，求三棱锥F－BCE的体积．

Answer 1

解：(1)证法一：如图1，取DE的中点M，连接AM，FM，

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE.

又∵AB＝EM＝DE，

∴四边形ABEM是平行四边形，

∴AM∥BE.

又∵AM⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，

∴AM∥平面BCE.

∵CF＝FD，DM＝ME，∴MF∥CE，

又∵MF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，

∴MF∥平面BCE，又∵AM∩MF＝M，

∴平面AMF∥平面BCE，

∵AF⊂平面AMF，∴AF∥平面BCE.

证法二：如图2，取CE的中点N，连接FN，BN.

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，

∵CF＝FD，CN＝NE，∴NF∥DE，NF＝DE，

又AB＝DE，∴AB∥NF，AB＝NF，

∴四边形ABNF是平行四边形，∴AF∥BN，

又∵AF⊄平面BCE，BN⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.

(2)由(1)，知AF∥平面BCE，∴V_F－BCE＝V_A－BCE＝V_C－ABE.

∵AB⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，

∵∠CAD＝90°，即AC⊥AD，

∴AC⊥平面ABED，所以，AC是三棱锥C－ABE的高．

∵AB＝2，AD＝4，∴S_△ABE＝AB·AD＝×2×4＝4.

∴V_C－ABE＝S_△ABE·AC＝×4×4＝.

另解：V_F－BCE＝V_B－CFE＝(×2×4)×2＝.