Question

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（x+2）+2f（-x）=0；给出下列结论：①f（2）=0②f（x+2）=2f（x）③f（x+4）=4f（x）④f（x+6）=6f（x）其中正确的结论的个数是

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

B
分析：①由f（x+2）+2f（-x）=0得f（x+2）=-2f（-x），令x=0结合奇函数，有f（0）=0，从而可求f（2）；
②由f（x-2）=-f（x）可得f（x-4）=-f（x-2）=f（x）可对②进行判断；
③由上面可得f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），故③正确；
④采用赋值法可得f（x+6）=2f（x+4）=8f（x），故④不正确．
解答：（1）∵f（x+2）+2f（-x）=0得f（x+2）=-2f（-x），
∴当x=0时，f（2）=-2f（0）=0，
∴f（2）=0故①正确；
②∵f（x+2）=-2f（-x），且函数f（x）是奇函数，f（-x）=-f（x），
∴f（x+2）=2f（x）
故②正确；
③由上面可得f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），故③正确；
④f（x+6）=2f（x+4）=8f（x），故④不正确．
其中正确的结论的个数是3．
故选B．
点评：本题主要考查了抽象函数性质的综合应用，解题的关键是熟练应用函数的奇偶性、周期性等，属于综合性试题．