Question

（本小题满分13分）

设数列的各项都是正数, 且对任意都有记为数列的前n项和

(1) 求证: ；(2) 求数列的通项公式；

(3) 若(为非零常数, ), 问是否存在整数, 使得对任意,

 都有

Answer 1

解析:

证明：(1)在已知式中, 当时, ∵∴  …(1分)

当时, ①

②

由①－②得, ………(3分)

∵∴即∴适合上式,

  ………(5分)

(2)由(1)知, ③

当时, ④

由③－④得,……(8分)

∵, ∴, 数列是等差数列,首项为1,公差为1, 可得  …(10分)

(3) ∵, ∴………(11分)

∴,

∴⑤………(12分)

当时, ⑤式即为⑥

依题意, ⑥式对都成立, 当时,

⑤式即为 ⑦依题意, ⑦式对都成立,

∴………(13分)    ∴又,

∴存在整数, 使得对任意, 都有  ………(13分)