Question

（20）

    如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

Answer 1

本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理运算能力。

解法一：

（Ⅰ）证明：取的中点，连结

∵分别为的中点

∵

∴面，面

∴面面

∴面

（Ⅱ）设为的中点

∵为的中点  

∴

∴面

作，交于，连结，则由三垂线定理得

从而为二面角的平面角。

在中，，从而

在中，tan∠PHF＝

故：二面角的大小为

解法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则

∵分别是的中点

∴

（Ⅰ）

取n=(0，1，0)，显然n面

·n＝0，∴n

又面

∴面

∴过作，交于，取的中点，则

设，则

又

由，及在直线上，可得:

解得

∴

∴   即

∴与所夹的角等于二面角的大小

故：二面角的大小为