Question

如图，已知圆交轴于、两点，在圆上运动（不与、重合），过作直线，垂直于交直线于点．
（1）求证：“如果直线过点，那么”为真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析。
（2）逆命题为：如果，那么直线过点．逆命题也为真命题，

（1）设，则．当时，直线过点，，即，．当时，直线过点，直线的斜率，直线OS的斜率，其方程为，，即．
．故“如果直线过点，那么”为真命题．
（2）逆命题为：如果，那么直线过点．逆命题也为真命题，以下给出证明：设，则，，，又，．当时，直线的方程为，显然过点；当时，直线OS的斜率，直线的方程为，令，得，直线过定点．综上，直线恒过定点．