Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）在R上为增函数．

Answer 1

分析：（1）首先分式看分母，显然f（x）的定义域为R，判断函数的定义域，首先看定义域是否对称，再验证f（-x）与f（x）之间的关系，进行判断；
（2）用定义法证明f（x）为增函数，同时利用的对数函数的性质；

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为R，且f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
所以f（-x）+f（x）=（1-

2

2-x+1

）+（1-

2

2x+1

）=2-（

2

2x+1

+

2

2-x+1

）
=2-（

2

2x+1

+

2•2x

2x+1

）=2-

2(2x+1)

2x+1

=2-2=0，
即f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数；
（2）设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有，f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以，函数f（x）在R上是增函数；

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，考查函数奇偶性与单调性的综合应用，利用定义法证明函数是增函数是常规的方法，我们要熟练掌握；