Question

 

已知函数（x∈R）在区间[-1,1]上是增函数．

（Ⅰ）求实数a的值所组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程的两实数根为x₁、x₂,试问:是否存在实数m,使得不等式对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求0出m的取值范围;若不存在,请说明理由?

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）

因为函数f（x）在区间[-1,1]上是增函数,所以f^‘（x）≥0在区间x∈[-1,1]恒成立

即有x²-ax-2≤0在区间[-1,1]上恒成立。    构造函数g（x）=x²-ax-2

∴满足题意的充要条件是：

所以所求的集合A=[-1，1] ………（7分）

   （Ⅱ）由题意得：得到：x²-ax-2=0………（8分）

因为△=a²+8>0 所以方程恒有两个不等的根为x₁、x₂由根与系数的关系有：

……（9分）

因为，

所以要使不等式

对任意恒成立，

当且仅当恒成立   ………………11分

构造函数

对任意的恒成立的充要条件是

故存在实数m满足题意且为

为所求。  ………………14分