题目内容

已知向量 $数学公式$ =（ $数学公式$ sin2x，-f（x））， $数学公式$ =（-m，cos²x+m- $数学公式$ ）（m∈R）且 $数学公式$ 与 $数学公式$ 互为相反向量．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若x∈[0， $数学公式$ ），f²（x）-λf（x）+1的最小值为-2，求实数λ的值．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为相反向量可得 m= $\text{[math]}$ sin2x，f（x）=cos²x+m- $\text{[math]}$ ，
∴f（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$ =sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
（2）∵x∈[0， $\text{[math]}$ ），∴2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），∴ $\text{[math]}$ ≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1，即f（x）∈[ $\text{[math]}$ ，1]．
令 h=f²（x）-λf（x）+1，当 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 时，则h在[ $\text{[math]}$ ，1]上是增函数，则f（x）= $\text{[math]}$ 时，h取得最小值为-2，
故 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ λ+1=-2，解得 λ= $\text{[math]}$ （舍去）．
当 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ≤1时，f（x）= $\text{[math]}$ 时，h取得最小值为-2，即 $\text{[math]}$ =-2，解得λ=±2 $\text{[math]}$ （舍去）．
当 $\text{[math]}$ ＞1时，h在[ $\text{[math]}$ ，1]上是减函数，f（x）=1 时，h取得最小值为 1-λ+1=-2，解得 λ=4．
综上可得，λ=4．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为相反向量可得 m= $\text{[math]}$ sin2x，f（x）=cos²x+m- $\text{[math]}$ ，化简可得f（x）的解析式．
（2）根据x∈[0， $\text{[math]}$ ），可得f（x）∈[ $\text{[math]}$ ，1]，令 h=f²（x）-λf（x）+1，利用二次函数的性质求得h的最小值，再由最小值为-2求得实数λ的值．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，二倍角的余弦公式，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．