Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高。已知AB=，∠APB=∠ADB=60°。

（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）求二面角P-AD-B的正切值。

Answer 1

解：（1）证明：因为PH是四棱锥P-ABCD的高， 所以AC⊥PH， 又AC⊥BD 所以AC⊥平面PBD， 又AC平面PAC 故平面PAC⊥平面PBD。 （2）因为四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD 所以 因为∠APB=∠ADB=60° 所以 HD=HC=1 所以 故等腰梯形ABCD的面积为 所以四棱锥的体积为 。
（3）如图，过H作HE⊥AD于E，连接PE， ∵PH是四棱锥的高， ∴PE⊥AD ∴∠PEH为二面角P-AD-B的平面角 在Rt△AHD中， ∴ ∴ ∴ 故二面角P-AD-B的正切值为2。