题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-c，0），点A（-a，0）和B（0，b）是椭圆的两个顶点，如果F1到直线AB的距离为
b
7
，则椭圆的离心率e=
1
2
1
2
．
分析：设F1到AB的垂足为D，依题意可知，△ADF1∽△AOB进而判断出
AF1
AB
=
DF1
OB
，进而表示出左焦点F1到直线AB的距离化简整理求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
解答：解：设F1到AB的垂足为D，
∵∠F1DA=∠BOA=90°，∠A为公共角
∴△ADF1∽△AOB
∴
AF1
AB
=
DF1
OB

∴
a-c
a2+b2
=
b
7
b
=
7
7
；
∵b2=a2-c2
∴
(a-c)2
2a2-c2
=
1
7

化简得到5a2-14ac+8c2=0
解得a=2c 或a=
4c
5
（舍去），
∴e=
c
a
=
1
2
．
故答案为：
1
2
．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是利用左焦点F1到直线AB的距离建立等式求得答案．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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