Question

野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架P-ABC进行野炊训练．已知PC=130cm，A、B两点间距离为50

3

cm．
（1）求斜杆PC与地面ABC所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）将炊事锅看作一个点Q，用吊绳PQ将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计），若使炊事锅Q到地面ABC及各条斜杆的距离都不小于30cm，试问吊绳PQ长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设P点在平面ABC上的射影为点O，连接CO，根据已知中PC=130cm，A、B两点间距离为50

3

cm．我们易求出∠PCO即为斜杆PC与地面ABC所成角，解三角形PCO即可得到斜杆PC与地面ABC所成角的大小．
（2）结合（1）的结论，易得PO的值，作QD⊥PC交PC于D点，由炊事锅Q到地面ABC及各条斜杆的距离都不小于30cm，易求出吊绳PQ长的取值范围．

解答：解：（1）设P点在平面ABC上的射影为点O，连接CO，CO=50，（3分）
在Rt△POC中，cos∠PCO=

5

13

，所以∠PCO=arccos

5

13

．（5分）
即PC与底面ABC所成角的大小为arccos

5

13

．（6分）
（2）在Rt△POC中，解得PO=120，
作QD⊥PC交PC于D点，
由QD≥30，得PQ=

QD

sin∠QPD

≥

30

5 13

=78．（11分）
又PQ≤120-30=90，（13分）
故吊绳长度的取值范围为[78，90]．（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，解三角形的实际应用，其中（1）的关键是确定∠PCO即为斜杆PC与地面ABC所成角，（2）的关键是根据炊事锅Q到地面ABC及各条斜杆的距离都不小于30cm，构造关于PQ的不等式．