Question

圆x²+y²=1内接等腰梯形A，B，C，D，其中AB为圆的直径（如图）． 
（1）设C（x，y）（x＞0），记梯形ABCD的周长为f（x），求f（x）的解析式及最大值；
（2）求梯形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据圆心为O，则OA=OB=OC=OD=1，设腰长为b，上底长是2x，利用勾股定理得出，则y=2+2x+2

2-2x

，再利用二次函数最值求出即可．
（2）由（1）知，梯形面积为S(x)=(x+1)

1-x2

(0＜x＜1)，利用导数求最值的方法可知，函数函数在（0，

1

2

）上单调递增，在(

1

2

，1)单调递减，由此可求面积的最大值．

解答：解：（1）圆心为O，连接OD，OC，过O作OE⊥CD，过C作CP⊥OB，
∴E为DC的中点，DE=CE=

1

2

CD=x，
∵等腰梯形ABCD，
∴DC∥AB，OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴∠CEO=∠EOP=∠OPC=90°，
∴四边形EOPC为矩形，
∴EC=OP，则OA=OB=OC=OD=1，
设腰长为b，由于上底长是2x，过C作直径的垂线，垂足是P，
则b²=CP²+PB²=OC²-OP²+PB²=1-x²+（1-x）²=2-2x
所以y=2+2x+2b=2+2x+2

2-2x

令t=

2-2x

（0＜t＜

2

），则x=1-

1

2

t2
故y=2+2(1-

1

2

t2)+2t=-t2+2t+4=-(t-1)2+5
∴该梯形周长的最大值是5；
（2）由（1）知，CP²=1-x²，
则S(x)=

1

2

×(2+2x)×

1-x2

=(x+1)

1-x2

(0＜x＜1)，
所以若令S′(x)=

1-x2

+(x+1)×

1

2

×

-2x

2-2x

=

-2x2-x+1

1-x2

=0  
则2x²+x-1=0（0＜x＜1），解得 x=

1

2

 
当0＜x＜

1

2

时，S′（x）＞0，当

1

2

＜x＜1时，S′（x）＜0，
所以当x=

1

2

时，S（x）有最大值

3 3

4

，
即梯形ABCD面积的最大值为

3 3

4

．

点评：此题主要考查了二次函数的最值以及等腰梯形的性质和解直角三角形以及利用导数求函数的最值问题，根据题意得出y=2+2x+2

2-2x

从而利用二次函数最值求法求出是解决问题的关键．