题目内容

若椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点C（-1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且
AC
=2
CB
，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．
（1）由题意知，c+
b
2
=3（c-
b
2
），…（2分）
∴b=c，
∴a2=2b2，…（3分）
∴e=
c
a
=
1-(
b
a
)2
=
2
2
．…（5分）
（2）设直线l：x=ky-x，A（x1，y1），B（x2，y2），
∵
AC
=2
CB
，
∴（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2），即2y2+y1=0，①…（7分）
由（1）知，a2=2b2，∴椭圆方程为x2+2y2=2b2，
由
x=ky-1
x2+2y2=2b2
，消去x，得（k2+2）y2-2ky+1-2b2=0，
∴y1+y2=
2k
k2+2
，…②
y1y2=
1-2b2
k2+2
，…③
由①②知，y2=-
2k
k2+2
，y1=
4k
k2+2
，…（9分）
∵S△AOB=
1
2
|y1|+
1
2
|y2|=
1
2
|y1-y2|，
∴S=3•
|k|
k2+2
=3•
1
2
|k|
+k
≤3•
1
2
2
|k|
•|k|
=
3
2
4
，…（11分）
当且仅当|k|2=2，即k=±
2
时取等号，
此时直线的方程为x=
2
y-1或x=
2
y-1．…（12分）
又当|k|2=2时，y1y2=
-2k
k2+2
•
4k
k2+2
=-
2k2
(k2+2)2
=-1，
∴由y1y2=
1-2b2
k2+2
，得b2=
5
2
，
∴椭圆方程为
x2
5
+
y2
5
2
=1．…（14分）
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A、B两点．
（1）若椭圆的半焦距c=
3
，直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8，求椭圆的方程；
（2）若O（
OA
•
OB
=0为坐标原点），求证：
1
a2
+
1
b2
=2；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率e满足
3
3
≤e≤
2
2
，求椭圆长轴长的取值范围．
如图，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且
|CD|
|ST|
=2
2
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足
OA
+
OB
=t
OP
（O为坐标原点），当|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
时，求实数t的取值范围．
如图，线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动，|MN|=5，点P是线段MN上一点，且
MP
=
2
3
PN
，点P随线段MN的运动而变化．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设
OS
=
OA
+
OB
，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．
已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（　　）
A．B．C．D．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(1，
q
2
)，且离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(
1
8
，0)，求k的取值范围．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±
3
x，O为坐标原点，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
⊥
OQ
，求|OP|2+|OQ|2的最小值．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，
MA1
=2
A1F1
．
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点M的直线l'与椭圆交于C、D两点，若
OC
•
OD
=0，求直线l'的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=
7
2
，
PF1
•
PF2
=
3
4
（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过F1的直线L与该椭圆相交于M、N两点，且|
F1M
|=2|
F1N
|，求直线L的方程．

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